Número e de Euler

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Inicios del número e de Euler


En 1683 apareció la definición precisa del número “e” en un trabajo de Jacobo Bernoulli (Suiza, 1654-1705) hijo de banquero, de un problema propuesto en "Ars Conjectandi" sobre capitales invertidos a un interés continuo(instantáneo). La presentación moderna de este problema es la siguiente:

Supongamos que una cantidad de dinero, a la que llamaremos D, se invierte a una tasa de interés t por cierto periodo de tiempo. Entonces, luego de transcurrido ese tiempo, el interés es el producto del dinero invertido por la tasa de interés, es decir Dt, y la cantidad de dinero ahora es:

la tasa de interés compuesto que es la expresión inicial de determinar e

Que pasa si  reinvertimos esta nueva cantidad de dinero a la misma tasa de interés. Veamos, la cantidad a invertir en este momento es D(1+t), que es justo lo que obtuvimos antes. Por lo tanto, la cantidad de dinero de periodo de tiempo es:

ejemplo del número e de euler tomando en cuenta si re invertimos por segunda vez

Lo que antes nos resultó con D(1+ t ) y en esta reinversión D(1+ t)^2. Repitamos el proceso una vez más para poder observar si hay algún patrón en la cantidad al cabo de cada período. En este momento la cantidad a reinvertir D(1+ t)^2. Así, el interés viene a ser el producto de ésta por la tasa t.

ejemplo número e tomando en cuenta si re invertimos por tercera vez


Luego del tercer período la cantidad viene a ser D multiplicado por el cubo de 1+ t. Lo que nos hace suponer que después de k períodos la cantidad será:

formula inicial del numero de e de euler

Pero, ¿qué sucede si el interés “t” se compone n veces cada año? Es decir, que si el año se divide en “n” partes, entonces la tasa de interés en cada período es:

interes de cada periodo


Con estas ideas se puede encontrar la fórmula para el interés compuesto. Con ella podemos calcular la cantidad de dinero que generará un monto inicial D invertido el cierto período de tiempo, conociendo la tasa de interés y cómo se compone al año (un dato que es muy importante). El interés compuesto está dado por la siguiente expresión:

La formula del interés compuesto es con la que se determina el interés a cierto periodo


C  = La cantidad de dinero luego de “a” años
D  = Es el monto de dinero invertido la primera vez
t    = tasa de interés por año
n   = el número de veces que el interés se compone por años, y “a” es el número de años que se invierte o reinvierte.

Nota: interés compuesto anual significa que cada año se añade al capital el valor de los intereses generados de forma que en el siguiente año dichos intereses produzcan a su vez también interés.


Si la tasa de interés anual de pago instantáneo que nos diera el banco fuera del 100%, al final del primer año tendríamos C(1+1/n)^n con “n” tendiendo a infinito.

Se comprueba experimentalmente que el valor del paréntesis elevado a la potencia va aumentando muy lentamente siendo 2.71692… para n=1000, 2.71814… para n=10000, 2.71826… para n=100000, 2.71828… para n=1000000. Entonces el valor del límite cuando “n” tiende a infinito será ese número decimal que se va definiendo y al que Euler llamo “e” (inicial de exponencial).

Si se calcula el interés en intervalos cada vez más cortos, es decir, con “n“ cada vez más grande, llegamos al “interés compuesto continuo”. Por esta razón. Bernoulli trato de calcular el límite de (1+1/n)^n cuando “n” tiende a infinito, notado.

limite de e es la primera definición con un limite


Pero él quien propuso usar la letra “e” para este número fue el gran matemático suizo Leonhard Euler, en el manuscrito titulado “Meditaciones sobre los experimentos recientes en el encendido del cañón”, escrito entre 1727 y 1728, e impreso por primera vez en 1862 en San Petesburgo, como parte de un compendio de la obra de Euler denominado Opera postuma matematica et physica. En el manuscrito, “e” aparece dieciséis veces.

Euler encontró varias propiedades del numero “e”, pero solo en 1748, en su obra Introductio in analysis infinitorum, recopilo estos conocimientos. Allí definió la función exponencial y el logaritmo natural de manera simétrica:

función exponencial la que determina la simetria


Adicionalmente, utilizo la serie de la función exponencial

serie de la funcion exponencial

Para demostrar propiedades de esta función y su relación con las funciones trigonométricas de seno y coseno. Aunque no dice como las calculo, Euler dio dieciocho cifras decimales exactas para el numero “e”:

e =2.718281828459045235

Las dieciocho cifras decimales se obtienen tomando veinte términos de la serie de la función exponencial, con x=1.

la serie del número e es con la que determinamos e y su valor



Fuentes:

es.slideshare.net/amusalan/numero-e-1544690
www.mat.ucm.es/~rrdelrio/publica/apuntes_matematicasII_nume.pdf
www.physics.drexel.edu/~skennerly/maths/Interest.pdf

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